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Compactification des Espaces Harmoniques by Constantin Meghea PDF

By Constantin Meghea

ISBN-10: 3540055797

ISBN-13: 9783540055792

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N(n − 1) . . (n − k + 1) = k(k − 1) . . 1 27 1 CORRIGÉS Donc k−1 n = k i=0 Nombres réels n−i . Or pour 0 k−i n−i k−i k − 1, on a i n ⇔ (n − i)k k ⇔ (n − k)i ce qui est vrai car i i=0 0 0 et n n k n . = k k n k=1 S 1 (n) = n = n k2 + k=1 k k=1 n(n + 1)(2n + 1) n(n + 1) + 6 2 n(n + 1) = [(2n + 1) + 3] 6 n(n + 1)(n + 2) = 3 2) Fixons p 0. Montrons par récurrence sur n tion Pn : 4) = n(n + 1)· · ·(n + p + 1) 1 = « S p (n)= p+2 p+2 k=1 n n k2 − 2 (n + i) » i=0 1 (1 + i) = p + 2 i=0 p+k p+1 Montrons alors par récurrence sur n l’assertion Qn : S p (n) p+n+1 ».

Comme sin(1) 0, on en déduit que lim sin(n + 1) = 0. Et donc, par changement d’indice, on a lim sin(n + 2) = n→+∞ n→+∞ lim sin(n) = 0, et donc lim sin(n + 2) − sin(n) = 0. n→+∞ n→+∞ Les formules trigonométriques donnent sin(n + 2)−sin(n) = 2 cos(n + 1) sin(1), donc 0 = lim sin(n+2) n→+∞ − sin(n) = lim 2 cos(n + 1) sin(1) = 2 sin(1). Comme sin(1) 0, on a donc = 0. n→+∞ D’où lim sin(n) = lim cos(n) = 0, ce qui donne alors la contradiction désirée : 0 = lim cos2 (n) + n→+∞ n→+∞ sin2 (n) = lim 1 = 1.

41 Notons Pn l’assertion « S n = et montrons la par récurrence sur n 1 1 n! » − p p! (n + p)! 1. • Initialisation : Pour n = 1, on a 1 1 S1 = = . Puis, 1 × 2 × · · · × (p + 1) (p + 1)! 1 1 1 p+1 1! 1 = − − p p! (1 + p)! p (p + 1)p! (p + 1)! 1 p+1 1 = − p (p + 1)! (p + 1)! 1 1 p = = p (p + 1)! (p + 1)! Donc on a bien S 1 = vraie. 1 1 1! − , l’assertion P1 est p p! (1 + p)! • Hérédité : Supposons Pn vraie pour un entier n 1 1 n! − . Alors : Sn = p p! (n + p)! 1, donc = = = = = i=k+1 • Conclusion : On a donc bien par récurrence sur n que Pn est vraie dès que n 1.

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Compactification des Espaces Harmoniques by Constantin Meghea


by James
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