Mathematics

Download PDF by Reinhard Schuster: Biomathematik: Mathematische Modelle in der Medizinischen

By Reinhard Schuster

ISBN-10: 3834807133

ISBN-13: 9783834807137

Die Phänomene in Medizin und Computational lifestyles Sciences lassen sich in wachsendem Maße mit mathematischen Modellen beschreiben. In diesem Buch werden Mechanismen der Modellbildung beginnend von einfachen Ansätzen (z. B. exponentielles Wachstum) bis zu Elementen moderner Theorien, wie z. B. unterschiedliche Zeitskalen in der Michaelis-Menten-Theorie in der Enzymkinetik, vorgestellt. Modelle werden schrittweise erweitert, um zu zeigen, welche mathematischen und biologischen Konsequenzen Modellannahmen bewirken. Das Softwaresystem Mathematica hilft im Verständnis komplexer Modelle, indem es moderne Methoden der Informatik in einer Vielzahl von mathematischen Gebieten (Analysis, Geometrie, Statistik) bereitstellt. Eine besondere Stärke liegt auf dem Gebiet der Computeralgebra. Der Leser soll zu einem selbständigen Experimentieren im Umfeld der vorgestellten Modelle angeregt werden.

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Die Phänomene in Medizin und Computational existence Sciences lassen sich in wachsendem Maße mit mathematischen Modellen beschreiben. In diesem Buch werden Mechanismen der Modellbildung beginnend von einfachen Ansätzen (z. B. exponentielles Wachstum) bis zu Elementen moderner Theorien, wie z. B. unterschiedliche Zeitskalen in der Michaelis-Menten-Theorie in der Enzymkinetik, vorgestellt.

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Der Anstieg dieser Sekanten gibt an, wie sich der y-Wert relativ zum x-Wert ver¨ andert. Lassen wir x immer n¨aher an x0 heranr¨ ucken, so gelangen wir zu der eingezeichneten Tangente. Zur genauen Beschreibung verwendet man Grenzwerte . Die Ann¨ aherung von x ur die Ableitung ist das Verh¨ altnis (y − an x0 wird mit limx→x0 symbolisiert. 5 1 2 4 3 x Abbildung 20: Quadratische Funktion y = x2 (durchgezeichnet) mit Tangente in x = 1 (lang gestrichelt) und drei eingezeichneten Sekanten (kurz gestrichelt) y0 )/(x − x0 ) bei der Ann¨aherung von x an x0 von Interesse: lim x→x0 y − y0 x − x0 .

Aus den Additionstheoremen (5) und (6) f¨ ur die komplexen Winkelfunktionen folgt unter Verwendung von (13) und (14) sin(x + y i) = sin(x) cosh(y) + cos(x) sinh(y)i cos(x + y i) = cos(x) cosh(y) − sin(x) sinh(y)i . Ohne Verwendung der Potenzreihen k¨onnten wir diese Gleichungen als Definitionen f¨ ur Sinusfunktion und Kosinusfunktion f¨ ur komplexe Argumente verwenden. Man kann nachrechnen, dass mit dieser Definition die f¨ ur reelle Argumente g¨ ultigen Funktionalgleichungen bestehen bleiben. Aus den letzten Gleichungen erkennen wir, dass Sinus- und Kosinusfunktionen im Komplexen sowohl Aspekte der Sinus- und Kosinusfunktion als auch der entsprechenden hyperbolischen Funktionen beinhalten.

000001 und damit y − y0 = 2(x − x0 ) (n¨aherungsweise). Wir k¨onnen Ableitungen f (x) problemlos in Mathematica mit der Anweisung D[f[x],x] oder auch mit D[y,x] berechnen. F¨ ur das verwendete Beispiel gilt In[n]:= D[x^2,x] Out[n]= 2 x Mathematica kann den Grenzwert nat¨ urlich nur dann berechnen, wenn er existiert. B. c x2 statt x2 ), so dass angegeben werden muss, nach welcher Variablen differenziert werden soll. Ein weiteres Beispiel zum Differenzieren ist In[n]:=D[Sin[x],x] Out[n]=Cos[x] F¨ ur differenzierbare Funktionen f (x) und g(x) sind auch Summe, Produkt und Quotient (f¨ ur g(x) = 0) wieder differenzierbar und es gelten die Rechenregeln (f + g) (x) = f (x) + g (x) (f · g) (x) = f (x) · g(x) + f (x) · g (x) f f (x) · g(x) − f (x) · g (x) .

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Biomathematik: Mathematische Modelle in der Medizinischen Informatik und in den Computational Life Sciences mit Computerlosungen in Mathematica by Reinhard Schuster


by Edward
4.0

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