By Gernot Stroth
ISBN-10: 3110290707
ISBN-13: 9783110290707
Dieses Lehrbuchbietet eine Einfuhrung in die grundlegenden Methoden der Galoistheorie. Am Beispiel der Auflosbarkeit von Polynomgleichungen durch Radikale wird das Zusammenwirken dreier Theorien - Gruppentheorie, Korpertheorie und Ringtheorie - zur Losung dieses difficulties demonstriert. Behandelt werden neben den ublichen Grundbegriffen wie Gruppen, Korper und Ringe sowie den Resultaten der Galoistheorie auch Anwendungen auf Konstruktionen mit Zirkel und Lineal, endliche Korper und Kreisteilungskorper sowieAuflosungsformeln der Gleichungen vom Grad hochstens four. Daruber hinaus wird der konkreten Berechenbarkeit und den Algorithmen zur Bestimmung irreduzibler Teiler von Polynomen bzw. der Galoisgruppe eines moderaten Polynoms ein breiter Raum gewidmet.
Die vorliegende zweite Auflage enthalt Erweiterungen zu den Themen rein inseparable Korpererweiterungen, p-adische Zahlen und Bewertungstheorie, angeordnete Korper undSatz von Sturm.
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Additional resources for Algebra: Einfuhrung in die Galoistheorie
Example text
Hier ist zunächst undefiniert, was K[x1 , . . , xn ] sein soll. Um K[x1 , x2 ] zu definieren, kann man K[x1 , x2 ] = (K[x1 ])[x2 ] setzen. Dies wollen wir auch so machen. Die Definition hat allerdings den Nachteil, dass wir eine Ordnung in die xi gebracht haben. Man muss dann zeigen, dass die Konstruktion von der Reihenfolge unabhängig ist, d. h. (K[x1 ])[x2 ] (K[x2 ])[x1 ]. Man kann allerdings auch abstrakter vorgehen. Sei I = N ∪ {0} und n ∈ N. Sei Pn (R) die Menge aller Funktion a : I n → R, die endlichen Träger haben, d.
Es gelte weiter f (a) = f (b) = f (c) = f (d) = 5. Zeige, dass es kein k ∈ Z mit f (k) = 8 gibt. 38. Seien f ∈ Z[x] und k ∈ N, so dass f (1), . . , f (k) alle nicht durch k teilbar sind. Dann ist f (r ) ≠ 0 für alle r ∈ Z. 39. Bestimme alle Polynome p ∈ Z[x] mit p(x 2 + 1) = p(x)2 + 1 und p(0) = 0. 2 Körpererweiterungen In diesem Kapitel wollen wir uns mit der Situation beschäftigen, dass ein Körper k in einem Körper K enthalten ist. 5) beweisen. 1. Seien R ein Ring, k und K Körper mit k ⊆ K .
Natürlich ist Z ⊆ Q und somit Z[x] ⊆ Q[x]. In Q[x] haben wir eine eindeutige Primfaktorzerlegung, d. h. jedes Polynom aus Z[x] kann eindeutig als Produkt in Q[x] irreduzibler Polynome geschrieben werden. Wir wollen aber wissen, ob dies auch mit irreduziblen Polynomen in Z[x] möglich ist. Dazu abstrahieren wir zunächst die Konstruktion, die von Z zu Q führt. 39. Sei R ein Integritätsbereich. (1) Es gibt einen Körper K mit folgenden Eigenschaften: (a) Es gibt einen Monomorphismus α : R → K . (b) Jedes Element aus K hat die Gestalt α(r1 )α(r2 )−1 mit r1 , r2 ∈ R und r2 ≠ 0.
Algebra: Einfuhrung in die Galoistheorie by Gernot Stroth
by Steven
4.1